简单初等函数和基本初等函数(初等函数和简单函数的区别)

导语：（A5）认识下简单初等函数和初等函数

（A4）必须了解的六大基本函数

上一篇我们着重介绍了六大基本初等函数，之所以称为基本初等函数，就是因为是最基本的，就像建造家具的原木。

光有原木当然还不够，这时候就需要进行下简单的加工，加工的工具就是加减乘除，当然还得要求是有限次的加减乘除，我们以后会讲，同样一个操作，有限次和无限次会出现完全不同的结果，这样基本初等函数经过有限次加减乘除后形成的函数就叫做简单初等函数。

看看它们长什么样吧：

(sinx+x^3-2^x+6)/arccotx

这是我随便构造的函数，虽然看上去十分复杂，但逃不过加减乘除，所以就是简单初等函数。简单初等函数就像木工切削后做成的一个个小抽屉，看出了家具的影子，但还不能完全叫做家具。

我们在简单初等函数基础上，如果再加上可以互相复合，类似于sin(cosx)，只要有这样的函数套函数的复合操作，我们就成为初等函数，初等函数才能叫做家具了。在上面的略加修改：

(sinx+(tanx)^3-2^x+6)/arccotx

其实就是将x^3改成了(tanx)^3，就成了正切函数和幂函数的复合，所以整个函数就成了初等函数。

一句话：初等函数内涵包含简单初等函数，简单初等函数内涵包含六大基本初等函数。

可能有人会问，为什么搞这么复杂，这么分析到底有什么用？这就要牵扯到初等函数的特性了。初等函数最厉害的特性就是在定义域内连续。连续的概念我们后续介绍，我们只需要了解，微积分分析导数、微分，如果函数不连续则一切都毫无意义。当然我们也不会人为的去创造连续，因为大自然中遍地都是连续的事物，比如：时间的流逝、物体的运动、盐的溶解过程等等，这也恰好印证了数学是自然的抽象。

既然有初等函数，那一定应该有非初等函数了，我们还有一个更加简便的判别是否为初等函数的方法：能不能用一个数学式子表示，能的话就是初等函数，不能的就是非初等函数。下面是典型的几个非初等函数：

（1）符号函数sgn(x)

符号函数sgn(x)，常用在通信信号领域

Wolframalpha小贴士:WA中已经内置了n多的函数，对于符号函数其实是x>0时为1，x=0时为0,x<0时为-1。在WA中直接输入sgnx即可。当然如果想手工输入分段函数也是可以的，这就需要对WA后台的Wolfram语言有些了解了，这里可以输入：piecewise[{{1,x>0},{0,x=0},{-1,x<0}}]，得到的图和上图一致：

piecewise[{{1,x>0},{0,x=0},{-1,x<0}}]

（2）取整函数：就是只取不大于该数的整数部分

integerpart(x)

来个讨论题，请问幂指函数y=x^x（x的x次幂）是不是初等函数，欢迎讨论，后续给答案。

下一篇打算介绍下数列，我是WA小刀，如果觉得我写的还行，请关注支持下，也鼓励下我不断前行。

（A6）数列简介

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