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等边三角形和不等边三角形的区别(等边三角和不等边三角)

导语:经典再现20——等边三角形中的不等式

题:如图1,等边ΔABC的边长为1,D、E分别是AB,AC上的点,且AD=CE.

求证:DE≥1/2.

思路1:欲证DE≥1/2,就是求DE的最小值为1/2.因为DE的长决定于AD的长,因此,以AD为自变量建立DE与AD的函数关系式.

证法1:设AD=x,DE=y,则AE=1-CE=1-x.

作DF⊥AE于F.

因为∠A=60°,

所以AF=AD/2=x/2,DF =√3x/2,

所以EF=1-x-x/2=1-3x/2,

所以y=√(DF^2+EF^2)

=√[(√3x/2)^2+(1-3x/2)^2]

=√(3x^2/4+1-3x+9x^2/4)

=√(3x^2-3x+1)

=√[3(x-1/2)^2+1/4]

所以,当x=1/2时,

y最小值=√(1/4)=1/2,

所以DE≥1/2.

思路2:欲证DE≥1/2,只需证明2DE≥BC.将DE沿AC平移,使点E与点C重合,让DE与BC在同一三角形中以便比较大小.

证法2:将DE沿AC平移到CF(如图2),连接DF,BF.则

CF=DE,四边形DECF是平行四边形,

所以CE=DF,

因为ΔABC使等边三角形,AD=CE,

所以AD=DF,AE=BD,

又∠A=∠BDF,

所以ΔADE≌ΔDFB,

所以BF=DE,

因为BF+CF≥BC(当点D为AB中点时,DE为ΔABC的中位线,F为BC中点,等号成立),

所以2DE≥BC,

所以DE≥BC/2,

即DE≥1/2.

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