导语：随机变量运算复杂吗

问题：已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，讨论Z=g(X,Y)的密度函数 f_Z(z)。针对X与Y的四则运算，给出相应概率密度公式。

1.四则运算概率密度

① Z=X±Y

此时，随机变量 Z 的概率密度为

或

当随机变量 X, Y 相互独立时, 有

或

对于加的情况，上述公式后两个即卷积公式。

② Z=X·Y

此时，随机变量 Z 的概率密度为：

或

当随机变量 X, Y 相互独立时, 有：

或

③ Z=X/Y

此时，随机变量 Z 的概率密度为：

当随机变量 X, Y 相互独立时, 有：

2.积分限的确定

由于使密度函数非0的随机变量X, Y 取值范围不一定总是全体实数，上述公式中，积分限的变化就会比较复杂，通常积分限都是 z 的函数。以对 x 积分的公式为例，确定变量 x 积分限的具体做法如下。

第①步 由密度函数f(x,y)中y的范围确定x的范围。

设联合密度函数非0的平面区域为D：

a<x<b, c(x)<y<d(x)

从z=g(x,y)解得y=y(x,z), 代入上面不等式：

a<x<b, c(x)<y(x,z)<d(x)

再解上面第二个不等式得：

a<x<b, x_1(z)<x<x_2(z)

这一步将c(x)<y<d(x)变为x_1(z)<x<x_2(z)。

第②步 根据a<x<b, x_1(z)<x<x_2(z)的公共部分确定x的积分限。

注意到，积分限受z值的影响。这一步可用两种办法：

方法一：根据不同z值，在(一维)数轴上确定公共部分，即为x的积分区域。

方法二：在(二维)平面上，以z为横轴，x为纵轴画出区域：

a<x<b, x_1(z)<x<x_2(z)

根据z不同值确定x范围，即为x的积分区域。

03例子

例 设随机变量(X, Y)的概率密度为

分别求(1)Z=X+Y, (2)Z=XY的概率密度。

解 (1)应用前述公式，采用对x积分。

第①步 先确定x的积分区域。联合密度函数非0区域D：

0<x<1, 0<y<1

从z=x+y中解得y=z–x, 代入上面不等式得：

0<x<1, 0<z–x<1

再解上面第二个不等式得：

0<x<1, z–1<x<z

第②步 根据0<x<1, z–1<x<z的公共部分确定x的积分限。

注意到，积分限受z值的影响。这一步可用两种办法：

方法一：根据不同z值，在(一维)数轴上确定公共部分，即为x的积分区域。

当z≤0时，无公共部分无积分域，f_Z(z)＝0；

当0<z≤1时，公共部分为0<x<z, 则：

当1<z<2时，公共部分为z-1<x<1, 则：

当z≥2时，也无公共部分，f_Z(z)＝0。

方法二：在(二维)平面上，以z为横轴，x为纵轴画出区域：

0<x<1, z-1<x<z

根据z的不同值确定x范围，即为x的积分区域。显然有：

当0<z≤1时，积分区间为0<x<z；

当1<z<2时，积分区间为z-1<x<1；

当z≤0或z≥2时，积分区间长度为0。

根据不同积分区域可得密度函数为：

(2)应用前述公式，采用对x积分。

第①步 先确定x的积分区域。联合密度函数非0区域D：

0<x<1, 0<y<1

从z=xy>0中解得y=z/x, 代入上面不等式：

0<x<1, 0<z/x<1

再解上面第二个不等式得：

0<x<1, x>z

第②步 根据0<x<1, x>z的公共部分确定x的积分限。

注意到，积分限受z值的影响。

当0<z<1时，积分区间为z<x<1，

当z≤0或z≥1时，无积分区间，f_Z(z)＝0。

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