证明直线与圆相切的条件(证明直线与圆相切的三种方法)

导语：证明直线与圆相切5例

证明直线与圆相切5例

切线定理是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。证明直线与圆相切的方法有：

1、运用定义，直线与圆只有一个交点则直线与圆相切；

2、圆点到直线的距离等于半径则直线与圆相切；

3、直线和圆的交点与圆心的连线与直线垂直则直线与圆相切；

4、切线定理的逆定理。

题目1：图1，已知三角形ABC内接于圆O，圆的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠ ABC。求证：PA是圆的切线。

解题思路：要证明PA是圆的切线，证明EA⊥AP即可。

见图2，连接EC,AE是圆的直径，∠ACE=90°,角α+θ=90°=∠EAP，PA⊥OA，且过A点，则PA是圆的切线。

上述是弦切角定理的逆定理的证明过程。

题目2：如图1，AB是圆O的直径，AC与圆交于点C，∠BAC的平分线交圆于点D，DE⊥AC，垂足为E。

求证：DE是圆0的切线。

解题思路：见图2，连接OD，则∠ OAD =∠ODA。

已知DE丄AC， 则∠ EAD+∠EDA = 90° 。AD是∠BAC的平分线，∠ EAD =∠BAD，∠ODE =∠EDA + ∠ODA =90°，这样OD丄DE，且过D点，则DE是圆0的切线。

题目3：如图1，点P为三角形ABC的内心，延长 AP交三角形ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足 AD²＝AB·AE,求証：DE是圆0的切线。

解题思路：见图2，已知P为三角形ABC的内心，故∠BAD = ∠ EAD，D点为弧BC的中点。连接BD，因AD² = AB· AE，变形为AB ／AD = AD ／AE，可见△BAD∽△DAE。∠BDA =∠ DEA = ∠ACB(同弦对等圆周角)，则BC // DE。连接OD，则OD垂直平分弦BC且垂直DE，故DE是圆O的切线。

题目4：如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE // BC交CF于E。求証：1.EA是圆O的切线；2. BD=CF。

解题思路：本题用逆向推理法，要证明AE是圆的切线，则需证明 AE²= ED· EC成立即可（切割线定理逆定理）。1.∠ ADF是圆内接四边形ABCD的一个外角，其等于内对角ABC = 60°，因DA = DF，故△ADF为等边△。在△ABD和△ACF中，AB = AC， AD = AF，∠BAD = 60°+∠ CAD = ∠ CAF，故△ABD≌△ ACF，BD = CF成立。2、己知AE // BC，故∠CAE =∠BCA = 60° =∠ADE。在△ACE和△ DAE中，∠ AEC为共角，∠ADE = ∠ CAE，故△ACE∽△ DAE，由相似比得AE² = ED· EC，根据切割线定理的逆定理，AE为圆O之切线。

题目5：如图1，AB为园0的直径，M、N为A B上的两点，OM =ON,P为圆周上不同于A、B的任意点，连结PM、PO、PN并延长交圆于E、F、G三点，连结GE并延长交BA的延长线于C。求证CF为圆0的切线。

解题思路：用逆向推理法：本题证明∠OFC = 90°即可！如果从圆心作弦EG垂线，垂足为D，则D为EG中点。我们发现如果能证明O、D、F、C四点共圆即∠OFD = ∠ OCD此题可解。

∠OCD在圆外，作一条 CB平行线EK(交PF于H点，因0点为MN中点，H亦是EK中点）将该角平移到圆周上（∠ KED)，即证明∠KED = ∠ OFD。如果能证明E、F、D、H四点共圆，问题即解！那么这四点是否共圆呢？

在三角形EKG中，HD为中位线，∠ HDE = ∠ G = ∠EFP，问题迎刃而解了！

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