导语：阶乘也很有趣（续）：原来阶乘的本质是面积

上一期阶乘也很有趣：从阶乘到伽玛函数到非整数的阶乘我们从阶乘的定义出发，谈到阶乘的计算、阶乘的解析延拓、伽玛函数、阶乘函数，并尽量做到深入浅出，以凸显数学的奥妙、美丽与魅力。但由于阶乘函数是采用定积分方式定义，感觉仍然不太好理解。所以，今天专门就这一话题进行展开。

阶乘函数的定义（Factorial Function）

阶乘函数定义为：

阶乘函数是以积分的形式定义的，其中被积函数

的自变量是u，x这里不是自变量（x是阶乘函数的自变量）。很显然该函数是没有原函数的，否则根据为积分的定义，阶乘函数也就不必要采用积分方式来定义了。

对数函数与

对阶乘函数的解剖

阶乘函数有一个定积分公式表达，其被积函数f(u)由两部分组成，即

和

。

前者是一个自变量u的x次方（先假定x≥0），是单调递增的；后者是一个负指数函数，是单调递减的。

先画图，分别令x=0.6、1、2、3，得到f(u)的曲线如下图所示：

观察上图，有如下结论：

1、 x取不同值时，不同的f(u)函数曲线都有一个公共交点，这个交点的坐标是P(1, )；

2、 f(u)都是一开始递增，而且x越小，一开始递增得越快。这说明，一开始是f(u)的第一个因式

处于主导作用；

3、 当u=x时，f(u)爬到山顶，得到最大值，此时函数值开始快速递减。此时，x越大，曲线下降得越快。这说明f(u)的第二个因式

开始处于主导地位了；

4、 图中可见，在u=14附近，x的差异带来的f(u)函数值的差异已经几乎可以忽略不计了。由于第二因式

是可积的，所以可以直观判断f(u)也是可积的。

阶乘函数本质是

因为

所以，从x!的值相当于在区间[0, +∞]上曲线

与u坐标轴（f(u)=0）之间所夹面积。

上图中，绿色线条下面的面积是5的阶乘5!=120，蓝色曲线下面的面积是4的阶乘4!=24，橙色区县的面积介于两者之间，所以可以表示为4与之间的某个数的阶乘（如图4.5！）。

所以，阶乘的本质是面积，这就是阶乘的几何意义。

根据阶乘函数定义，得到

所以，数学上定义0!=1!=1是合理的。

这样你对实数的阶乘还有什么不能理解了呢？

阶乘解析延拓到实数域，妙就妙在人类发现了一个这样的函数（幂函数与指数函数的积）

该函数曲线与横坐标之间的面积与恰恰可以与非负整数域的阶乘值相匹配！！！这个函数的积分即为对数函数，也即伽玛函数。

后续我再找时间进一步透视负数的阶乘的几何意义。

去年一滴相思泪，今年刚流到腮边。

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