复合函数的偏导数例题(复合函数的全导数和偏导数的联系与区别在哪)

导语：复合函数的全导数和偏导数的联系与区别

一元复合函数的导数公式：

不管怎么复合，得出的结果都是y对x的斜率。

多元函数的复合函数的全导数公式：

图1

根据全微分

的几何意义：

dz就是与A、B两点相对应的切平面上两点的高度差，因此dz/dt就是切平面上的两点相对于t的高度变化率。

再看复合函数的偏导数：

图2

中间变量也可以增加：

与全导数形式上一致，但意义完全不同：

所以，复合函数的偏导数求出来的是空间曲线的切线斜率。

对比图1和图2，可以看出，不管全导数还是偏导数，其复合函数的形式都是z=f(u,v)。但对于全导数，中间变量u,v都是同一个变量 t 的函数，因为最终变量只有一个，所以求出的结果实际上就是一个导数，称为全导数；对于偏导数，中间变量u，v 则是二元变量 x,y 的函数，正是因为变量的个数多于一个，才存在偏导数的可能。只要u,v中的最终变量变成一个，偏导数就变成了全导数。

无论全导数还是偏导数，都是相对于复合函数的最终变量个数来区分的。

全导数的中间变量u,v可以增加，但最终变量只能是一个（t）。

偏导数无论中间变量u,v还是最终变量x,y,变量个数都可以增加。

简单总结：

1：全导数和偏导数的复合函数的最终变量，前者一个，后者两个或者更多。

2：全导数的意义是切平面的高度变化率，而偏导数的意义是切线的斜率。

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