欧拉上帝公式(欧拉的上帝公式是怎么证明的)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚被称为上帝公式的欧拉公式你还不会推导吗？的相关问题？那么关于欧拉 上帝公式的答案我来给大家详细解答下。

一般地，我们可以用 表示复数，其中

若将复数看作在复平面上一个的一个点

考虑把该点转化为极坐标表示：

我们使 ，其中

得到复数还可以表示为

即

我们先考虑一个引理：

引理1：如果一个复数表示为那么它的n次方就可以表示为

证明：我们用一般的代数方式可以得到：

整理得

类推可知 证毕

接下来我们考虑另一个引理：

引理2： 证明

证明：我们知道

那么 证毕

接下来我们尝试将引理2这个公式推广到复数域：

设 ， ，其中

则根据引理2有 ，接下来证明右边的极限存在。

首先

利用引理1可以将上式表示为极坐标形式

我们先考虑一次形式： ，它也可以写为极坐标形式

易得

又 得到

所以 且

我们分别计算这两个部分的极限：

由于 这一极限不好求，所以我们求 的极限。

我们根据等价无穷小 得到

即

所以知道 故

接下来计算

我们根据等价无穷小

得到：

所以

故：

所以

这就是著名的欧拉公式：

我们取 代入得 ，它将数学里几个特殊的量以一种简洁且明确的方式联系在了一起。

温馨提示：通过以上关于被称为上帝公式的欧拉公式你还不会推导吗？内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。