窗函数为什么能减少泄漏(窗函数要求)

导语：窗函数泄露

1.时域和频域

时域通常指的是随着时间连续变化的信号，频域指的是对时域信号进行频谱变换得到的变换信号。时域和频域是从不同的角度来描述信号的特征信息，就比如我们拿到一个物体既可以用颜色中的三原色来描述，也可以从化学元素（氢氦锂铍硼等元素）来描述。时域的话通常是用幅值-时间来描述，频域的话通常是用幅值-频率来描述。

频域中傅里叶变换定义为：

离散

傅里叶变换为：

时域信号容易理解，就是幅值随着时间的信号。而频域如果从公式的定义角度不好理解，我们可以从向量的角度来解释，其中向量定义为：

那么时域信号其实就是关于这个向量的映射，这个向量就是，不同频率的向量就是。那么时域信号其实就是关于不同频率向量的映射，那么反应的就是不同频率下的幅值信息。

2.泄露

其中连续信号表示的是一段无尽的信号，但是实际中由于时间的限制，我们无法采集到无穷的信号，我们只能采集到其中的一段间隔信号。

如果我们截取的信号正好是整周期的信号，根据离散傅里叶变换，那么此时的信息也是整周期。那么截取的信号与完整信号的变化是一致的。

此时的傅里叶变换为：

但是实际中，很多时候截取的信号不是整周期的，比如：

·那么此时其变换的实际变换波形如下图所示，其实际中的波形变换如下图所示：.

·那么对其做傅里叶变换：

·从上图中明显就可以看到信号的幅值进行了衰减，这种现象叫做频谱的泄露。

3.窗函数的运用

针对频谱的泄露，我们需要进行加窗，其实上图中的信号，我们其实也进行了加窗，该窗其实是矩形窗。我们现在改变加入汉宁窗，此时的时域图形：

此时的频谱为：

可以明显看出加窗以后傅里叶变换的幅值跟原来的值更接近。

窗函数其实就是针对时间函数的泄露。时域信号主要根据主瓣宽度和相对旁瓣衰减来选择不同的窗函数。

窗函数

主瓣宽度（-3dB）

相对旁瓣衰减

矩形窗

0.027344

-13.3dB

汉明窗

0.039063

-42.5dB

汉宁窗

0.042969

-31.5dB

平顶窗

0.11719

-88dB

图基窗

0.035156

-15.1dB

窗函数主要根据旁瓣宽度和相对旁瓣衰减来选择合适的窗函数。下图中的1代表主瓣宽度，2代表的是相对旁瓣衰减。主瓣宽度越高，代表的是频率分辨率越差，越难分辨相邻的频率，旁瓣衰减范围越高，即旁瓣衰减的值越小代表的是信号的衰减越快。

在实际中，主瓣宽度和旁瓣衰减很有可能是不能同时兼顾的，那么此时需要根据实际的信号选择合理的窗函数。一般来说普通的信号都可以选择汉宁窗，如果选择计量检定项目一般选择平顶窗，阶次分析选择矩形窗，测量小阻尼信号用指数窗。

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