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高考数学导数解题技巧(高考导数题的十大解题技巧)

导语:高考数学高分突破:学会运用导数去解问题

很多人都觉得数学学习非常难,要想提高数学成绩,不仅要去掌握众多知识点,掌握还不一定能正确解答出相应的数学问题,更重要学会运用相应的知识点、方法技巧等等去解决实际问题。

特别是很多学生进入高中之后,没有及时转变学习方法,主动去适应高中数学的变化,造成数学成绩一度出现滑落,甚至整个高中的数学学习处于低谷期。高中数学相比初中数学、小学数学,无论是知识的深度和广度不断加深,单单知识点的学习,就是小学和初中无法比拟的,高中数学更讲究技巧性,讲究方法,这就是很多人无法适应高中数学学习,不能取得优异成绩的原因。

大家一定要记住一点,数学学习是学会如何解决问题,如何把复杂问题简单化,如何让问题解决变得更加简单,变得更加容易。只有学会如何“分解”数学问题,你的数学能力才会得到提高;只有学会如何“分解”数学问题,你才能找到提高数学能力的途径。

如学好导数对于学好整个高中数学显得尤为重要,通过导数的学习,可以更好帮助我们研究函数的性质,更好理解的去理解函数的性质等等。在高考数学中,如何在函数题目、几何题目、不等式题目中运用导数成为高考数学重要的热门考查对象。

因此,今天我们一起通过对高考导数常考题型进行分析,总结归纳导数在高中数学解题中的一些常用解题方法。

首先要掌握好求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

那么,什么是函数单调区间?

在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

1、当f′(x)≥0⇔f(x)时,在(a,b)上为增函数.

2、当f′(x)≤0⇔f(x)时,在(a,b)上为减函数.

f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

典型例题分析1:

已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)当a=2时,

f(x)=(-x2+2x)ex,

∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.

令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,

∵ex>0,

∴-x2+2>0,

(2)若函数f(x)在R上单调递减,

则f′(x)≤0对x∈R都成立,

即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.

∵ex>0,

∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.

∴Δ=(a-2)2+4a≤0,

即a2+4≤0,这是不可能的.

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.

导数在高中数学中占有重要的地位,是研究函数的单调性、变化率以及最值等问题最常用和最有效的工具,也是进一步学习高等数学的基础。

要想学好导数相关知识内容,那么你首先需要掌握好函数的极值、函数的最值等基本概念。如函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。

函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。

其中极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值。

在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。

若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值。

可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点。

可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较。

典型例题分析2:

设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-1/2对称,且f′(1)=0.

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,

故f′(x)=6x2+2ax+b,

从而f′(x)=6(x+a/6)2+b-a2/6,

即y=f′(x)关于直线x=-a/6对称.

从而由题设条件知-a/6=-1/2,即a=3.

又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,

得b=-12.

(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,

所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),

令f′(x)=0,

即6(x-1)(x+2)=0,

解得x=-2或x=1,

当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,

即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;

当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,

即f(x)在(-2,1)上单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,

即f(x)在(1,+∞)上单调递增.

从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21,

在x=1处取得极小值f(1)=-6.

通过对历年高考数学分析,还是对平时高中数学学习分析发现,很多高中学生在导数学习中主要存在着这三方面学习问题:

1、导数的几何意义理解不完整,极值、极值点、取得极值时的点概念混淆,取得极值的条件不清楚;

2、公式理解不深刻,运算性质记忆不牢,导函数及其图像的性质掌握不透彻;

3、导数的最基本应用能力不足,导数的知识迁移能力差,与导数的应用相关的解题思想方法不熟悉,对导数的应用存在恐惧心理。

因此,大家一定要记住求函数极值的步骤:

1、确定函数的定义域;

2、求方程f′(x)=0的根;

3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;

4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况。

记住求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:

1、求函数在(a,b)内的极值;

2、求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);

3、将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。

典型例题分析3:

已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.

(1)求a,b的值;

(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.

解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,

由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,

(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;

f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).

令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.

当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,

故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;

当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,

故f(x)在(-2,2)上为减函数;

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,

故f(x)在(2,+∞)上为增函数.

由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,

f(x)在x1=2处取得极小值f(2)=c-16.

由题设条件知16+c=28,得c=12.

此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,

f(2)=-16+c=-4,

因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.

要想学好导数相关知识内容,就要主动去解决学习导数中遇到的困难,寻找有效的方法和技巧。如可以加强对数学的阅读理解能力的培养;加强对导数概念的理解;加强对相关公式记忆以及运算求解能力的培养;加强对基本解题思想和方法的学习;加强对数学文化的学习,提高对导数的学习兴趣等等。

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