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协方差的含义是什么(协方差通俗理解)

导语:【数学篇】协方差的定义

在概率论中,两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系,大致有下列3种情况:

情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有: X 越大 Y 也越大, X 越小 Y 也越小,这种情况,我们称为“正相关”。

情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有:X 越大Y 反而越小,X 越小 Y 反而越大,这种情况,我们称为“负相关”。

情况三,如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出:既不是X 越大Y 也越大,也不是 X 越大 Y 反而越小,这种情况我们称为“不相关”。

怎样将这3种相关情况,用一个简单的数字表达出来呢?

在图中的区域(1)中,有 X>EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;

在图中的区域(2)中,有 X<EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0;

在图中的区域(3)中,有 X<EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;

在图中的区域(4)中,有 X>EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0。

当X 与Y 正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E(X-EX)(Y-EY)>0 。

当 X与 Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)<0 。

当 X与 Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布几乎一样多,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)=0 。

所以,我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是

协方差

cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)

当 cov(X, Y)>0时,表明 X与Y 正相关;

当 cov(X, Y)<0时,表明X与Y负相关;

当 cov(X, Y)=0时,表明X与Y不相关。

这就是协方差的意义。

另外补充:

求特征协方差矩阵,如果数据是3维,那么协方差矩阵是

这里只有x和y,求解得

对角线上分别是x和y的方差,非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增,另一个也增;小于0表示一个增,一个减;协方差为0时,两者独立。协方差绝对值越大,两者对彼此的影响越大,反之越小。

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