4年级排列组合问题(四年级排列组合例题)

导语：小学四年级数学思维拓展：排列组合之组合三

日常生活中有很多的“分组”问题。如把同学们分两组进行篮球对 抗赛，从全班同学中选几人参加数学竞赛等等。这种“分组”问题，就是我们要讨论的组合问题。

组合问题与所取的元素有关，而与元素之间的先后顺序无关。 一般地，从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个不同的元素并组成一 组，叫做从 n 个不同元素中每次取 m 个元素的组合，简称“m 元素组合”。 求组合数按以下的方法： ［n·（n - 1）·（n - 2）…（n - m +1）］÷［m·（m - 1）…3·2·1］。

事实上，加法原理、乘法原理、排列、组合等问题是相互联系、不可分 割的。当我们综合运用时，一定要注意：

（1）区分清楚两个基本的原理；

（2）具体问题具体分析，判断清楚到底属于什么问题。

实例

从分别写有 1、3、5、11、13 的五张卡片中任取两张，组成一道乘 法算式，可以得到多少个不同的乘积？

思路解析

观察 1、3、5、11、13 这 5 个数，可以看出其中任意两个数的乘积都互不相同。 要考虑有多少个不同的乘积，由于只要从 5 张卡片中取 2 张，就可以得到一个乘积，所以有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的 顺序无关，所以这是一个组合问题。

解答：

根据求组合数的方法，共有： （5 × 4）÷（2 × 1） = 20 ÷ 2 = 10（个）

答：可以得到 10 个不同的乘积。

拓展练习一

学校举行篮球单循环赛，有 18 个队参加。问：共需要进行 多少场比赛？

答案提示

因为比赛是单循环制的，所以 18 个队中的每两个队都要 进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关，而与两个队选出 的顺序无关。所以，这是一个在 18 个队中取两个队的组合问题。 根据求组合数的方法，共有：

（18 × 17）÷（2 × 1） = 306 ÷ 2 = 153（场）

答：共需要进行 153 场比赛。

拓展练习二

​在一个圆周上有 10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画 出多少条直线？多少个三角形？多少个四边形？

答案提示

因为这10 个点在圆周上，所以没有三个点在同一条直线上。

（1）由于两点确定一条直线，所以只要从这 10 个点中取出 2 个点，就可以组成一条直线，所以有多少条直线只与所取的点有关，而与点被出的 顺序无关，所以这是一个组合问题。

解

（10 × 9）÷（2 × 1） = 90 ÷ 2 = 45（条）

答：可以画出 45 条直线。

（2）只要取出 3 个点就可以组成一个三角形。

解

（10 × 9 × 8）÷（3 × 2 × 1） = 720 ÷ 6 = 120（个）

答：

可以组成 120 个三角形。

（3）只要取出 4 个点就可以画出一个四边形。

解

（10 × 9 × 8 × 7）÷（4 × 3 × 2 × 1） = 5040 ÷ 24 = 210（个）

答：可以画出 210 个四边形。

实例

​四（1）班要在 25 名同学中选出 4 名同学去参加冬令营，共有 多少种选法？如果在 25 人中选 4 人站成一队，有多少种不同的站法？

思路解析

​要在 25 人中选 4 人去参加冬令营，那么，所有的选法只与选 出的同学有关，而与 4 名同学被选出的顺序无关。所以，应用求组合数的 方法，

共有： （25 × 24 × 23 × 22）÷（4 × 3 × 2 × 1） = 303600 ÷ 24 = 12650（种）

要在 25 人中选出 4 人站成一队，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与 4 名同学被选出的顺序有关。所以，应用求排列数的方 法，

共有： 25 × 24 × 23 × 22 = 303600（种）

答：选出 4 名同学去参加冬令营，共有 12650 种选法；在 25 人中选 4 人站成一队，有 303600 种不同的站法。

拓展练习一

​有 25 个队参加排球赛，比赛时先分成 2 组，第一组 12 个 队，第二组 13 个队，各组都进行单循环赛，然后由各组的前两名共 4 个 队进行单循环赛决定冠亚军，共需多少场比赛？

答案提示

​各组进行单循环赛就是每队都要与本组其他队各比赛一 场，因此一场比赛可以看成是两个队的一个组合。

第一组的 12 个队进行单循环比赛所需的比赛场数是：

（12 × 11）÷（2 × 1） = 132 ÷ 2 = 66（场）

第二组的 13 个队进行单循环比赛所需的比赛场数是：

（13 × 12）÷（2 × 1） = 156 ÷ 2 = 78（场）

由前 4 个队进行单循环比赛决定冠亚军所需的比赛场数是：

（4 × 3）÷（2 × 1） = 12 ÷ 2 = 6（场）

由加法原理，可知一共需要比赛的场数是： 66 + 78 + 6 = 144 + 6 = 150（场）

答：这次排球赛共需比赛 150 场。

拓展练习二

​ 从 6 幅水墨画、3 幅油画和 4 幅素描中选取两幅不同类型 的画布置画室，共有几种不同的选法？

答案提示

​首先考虑从水墨画、油画和素描这三种画中选取两幅不 同类型的画有三种情况，即可分三类，这就需要考虑到加法原理。 从其中两类各选一幅有多少种选法？用到的就是乘法原理，可见，这 是一道利用两个原理的综合题。

我们不妨分为三类：

第一类：水墨画和油画各一幅，则可以想象成

第一步先在 6 幅水墨画 中选一张，

第二步再在 3 幅油画中选一张，

由乘法原理可知有：6 × 3 = 18种选法；

第二类：水墨画和素描各一幅，由乘法原理可知有：6 ×4 =24 种选法；第三类：油画和素描各一幅，由乘法原理可知有：3 × 4 = 12 种选法。

这三类是各自独立发生互不相干进行的，所以，按照加法原理，选取两幅不同类型的画布置画室的选法有： 6 × 3 + 6 × 4 + 3 × 4 = 18 + 24 + 12 = 42 + 12 = 54（种）

答：共有 54 种不同的选法。

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