导语：复数证明拿破仑定理

根据谈数论理网友的建议做了修正

拿破仑定理

拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的重心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。

这篇短文讲述如何用复数证明这个定理。可以看成高中复数的扩展内容，是我用于高中数学竞赛训练扩展思路的材料。可做为教竞赛或者教想考好大学的老师教学，以及优秀的高中同学学习参考。

1.复平面的三点比-预备知识

我们知道，复数是复平面的一个点。设三个复数z1，z2，z3，可以定义三点比为

V(z1，z2，z3)=( z2- z1)/ ( z3- z1). 三点比V(z1，z2，z3)是个复数，其复角就是复平面上⊿z2z1z3中∠z2z1z3的有向大小。而模是边z1 z2与z1 z3的长度比。角度相等对应边成比例，在平面几何中是三角形相似的判别条件。而在复平面上，⊿z1z2z3∽⊿w1w2w3等价于

V(z1，z2，z3)= V（ w1，w2，w3）。。。。。（1）

（1）展开的话，不难看出也可以写成行列式：

利用相似，我们来看正三角形⊿z1z2z3的判据：对于正三角形来说：由于z1z2z3∽⊿z3z1z3，就有：

对于看不懂行列公式的同学，（1）式的右边直接拿1，ω，ω2替换w1，w2，w3也不难得到一般三角形与正⊿1ωω2相似的判定条件

拿破仑定理的证明

图1

图2

证明：⊿A1BC∽⊿1ωω2，⊿BC1A∽⊿1ωω2，⊿CAB1∽⊿⊿1ωω2

由复平面正三角形相似条件，就有：

下面计算

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