对称群s3是什么(对称群s3元素的含义)

导语：群论：S3对称群的详细介绍

详细介绍一下S3对称群。

群，是由一个集合与一个二元运算符（通常叫“乘法”）组成的。

它的起源，是为了解决一般5次方程的根式解问题。

1，二元运算符，

加减乘除都是二元运算符，这是从小就被人们熟知的。

群论，实际上就是从人们熟知的乘法开始的。

因为除法可以表示为乘法的逆运算，所以只需要考虑乘法就行。

有理数Q是一个集合，以它的乘法为例子：

0以外的有理数与它的倒数相乘结果是1（例如2 x 1/2 = 1），0以外的有理数与1相乘结果是它自己，1就是有理数的乘法的单位元。

2 x 1/2 = 1 = 1/2 x 2,

2 x 1 = 1 x 2 = 2，

1/2 就是 2的逆元，2也是1/2的逆元，他们互为逆元。

如果用a代表2，b代表1/2，e代表1，那么就是：

ab = e = ba，

ae = ea = a。

有理数的乘法是符合结合律的，例如：

(2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5)，也就是说小括号的位置不会影响乘法的结果，3个或更多的数相乘的结果不受计算顺序的影响。

再用a表示2、b表示3、c表示5，那么就是：

(ab)c = a(bc)。

有理数Q上的乘法是封闭的：任何2个有理数相乘，结果还是有理数。

所以，有理数Q上的乘法符合4条运算律，如下图：

有理数Q的乘法运算律

符合这4条运算律的集合与它的乘法运算，叫做群。

有理数Q的乘法符合这4条，如果其他集合的乘法也符合，那么其他集合也是个群。

拿这4条运算律当尺子，去量任何集合上的二元运算，只要符合的就都是群。

2，S2对称群，

数字1,2之间的对应关系只有2种。

第一种是 1->1, 2->2，我们用字母e表示它，

它就是定义域和值域都是{1, 2}的一个函数 y = e(x)，

e(1)=1, e(2)=2，

它实际上就是从直线y = x上选了两点(1, 1)和(2, 2)。

它的定义域和值域都不是连续的，而是离散的，而且只有两对数字。

1->1, 2->2的对应关系

1,2之间的对应，另一种情况是：1->2, 2->1，

它也是定义域和值域都是{1, 2}的函数，用y = a(x)表示它，

它也是在直线上选了两点(1, 2)和(2, 1)，如下图：

1->2, 2->1的对应关系

把这两个函数关系做为集合的元素，G = {e, a}，把e和a之间的函数合成做为集合G上的乘法，那么：

(ea)(1) = e(a(1)) = e(2) = 2 = a(1)，

(ae)(1) = a(e(1)) = a(1) = 2 = a(1)，

(aa)(1) = a(a(1)) = a(2) = 1 = e(1)，

所以 ea = ae = a，aa = e。

按照复合函数的规则，G = {e, a}构成群。

这叫S2对称群，因为它的定义域和值域都是{1, 2}，它的内容都是1, 2之间的置换关系。

如果是{1, 2, 3}之间的对应关系，一共有6种，就构成了S3对称群。

3，S3对称群，

{1, 2, 3}，3个数字之间的对应关系是可以循环变换的，如下表：

1->2，2->3，3->1，或者1->3, 3->2, 2->1，就这2种循环。

1->2->3和1->3->2的循环变换

3个数字之间也可以固定其中1个，让另外2个对换：

固定1，让2,3对换

这样的对换共有3种：2,3对换，1,3对换，1,2对换。

最后就是按自然顺序对应，1->1, 2->2, 3->3。

定义域和值域都是{1, 2, 3}的这6个函数组成的集合，按照复合函数的规则，也可以构成群，就叫S3对称群。

这个复合函数的规则，在这种场合就叫它广义的乘法，简称乘法。

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