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利用特殊四边形的性质巧解折叠问题(特殊四边形折叠问题教学设计)

导语:「初二数学」利用特殊四边形的性质巧解折叠问题

四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠,然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明,折叠的本质是图形的轴对称变换,所用关系是折叠后的图形与原图形全等,解题方法大多是列方程的方法.

一.平行四边形的折叠问题

1.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=44°,求∠B的度数.

【分析】由折叠知,∠CAB=∠CAB'=1/2∠BAB',又∵平行四边形ABCD,AB∥CD,∴∠1=∠BAB',∵∠1=∠2=44°,∴∠CAB=22°,在△ABC中,可得∠B=180°一44°一22°=114°.

2.如图,将平行四边形纸片沿对角线AC所在直线折叠,点D落在点E处,AE恰好经过BC边的中点F,若AB=3,BC=6,求∠B的度数.

【分析】由折叠知,∠DAC=∠EAC,而四边形ABCD是平行四边形,AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠EAC=∠ACB,∴AF=CF,而F为BC的中点,CF=BF=3,∴AF=BF=3,又∵AB=3,∴△ABF为等边三角形,∴∠B=60°.

二,矩形的折叠问题

3.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,求阴影部分图形的周长.

【分析】由折叠性质知,DF=D1F,AE=A1E,AD=A1D1,阴影部分图形的周长=D1F+FC+BC+BE+A1E+A1D1=(DF+FC)+BC+(BE+AE)+AD=DC+BC+AB+AD=矩形ABCD的周长=2×10+2×5=30.

4.如图,把矩形纸片ABCD折叠,使点B落在点D处,点C落在点C'处,折痕EF与BD交于点O,已知AB=16,AD=12,求折痕EF的长.

【分析】由已知条件,得∠C'DF=∠CDA=90°,∴∠C'DE=∠ADF,∵∠A=∠C=∠C'=90°,AD=BC=DC',∴△DAF≌△DC'E,∴DF=DE=BF,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,连接BE,则四边形DFBE是菱形,如图,

∴OB=OD,OE=OF,BD⊥EF,设AF=x,则DF=BF=16一x,在Rt△DAF中,AD²+AF²=DF²,∴12²+x²=(16一x)²,解得x=7/2,∴DF=25/2,在Rt△ABD中,BD²=AD²+AB²,可得BD=20,∴DO=10,在Rt△DOF中,可算出OF=15/2,∴EF=2OF=15.

三.菱形的折叠问题

5.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD上的F点,连接CF,求∠BFC的度数.

【分析】∵四边形ABCD是菱形,∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°,由折叠性质得,AB=BF,∴BF=BC,在△BFC中,可求得∠BFC=75°.

6.如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对角线交点O处,折痕为EF,若菱形的边长为2,∠A=120°,求EF的长.

【分析】连接BD,AC,如图,

∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°,∴∠BAO=30°,∴AO=AB/2=1,在Rt△AOB中,可算出BO=√3,∵点A沿EF折叠与点O重合,∴EF⊥AC,∵BD⊥AC,∴EF∥BD,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=BD/2=BO=√3.

四.正方形的折叠问题

7.如图,正方形纸片ABCD的边长AB=12,E是DC上的一点,CE=5,折叠正方形纸片使点B和点E重合,折痕为FG,求FG的长.

【分析】由折叠性质知FG⊥BE,过点F作FM⊥BC于M,设BE交FG于N,如图,

则∠C=∠BNG=90°,∠BGN=∠BEC,又可知FM=BC,∠FMG=∠C,∴△FMG≌△BCE,∴FG=BE,在Rt△BEC中,可求得BE=13,∴FG=13.

8.如图,有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A,点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H折痕为EF,连接BP,BH.

(1)求证:∠APB=∠BPH;

(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论.

【分析】(1)由折叠知,PE=BE,∠EPB=∠EBP,而∠EBC=∠EPG=90°,∴∠BPH=∠PBC,又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,∴∠APB=∠BPH.

(2)△PDH的周长不变,且为定值8.理由如下:

由(1)知∠APB=∠BPH,∴过B作BQ⊥PH于Q,如图,

∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,∴△ABP≌△QBP,∴AP=QP,AB=BQ,∵AB=BC,∴BQ=BC,又∵∠C=∠BQH,BH=BH,∴Rt△BCH≌Rt△BQH,∴CH=QH,∴△PDH的周长=PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+DC=8.

【总结】

折叠问题,题型多变,关键是利用轴对称的性质,抓住背景图的性质,运用方程的思想,函数的思想,转换的方法从而解题.折线是对称轴,对应点的连线段被对称抽垂直平分,折叠前后的图形全等.

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