导语：数学解题技巧到底是啥？3种常见解题技巧助你豁然开朗

数学解题技巧是数学解题基础，基础掌握不好，解题自然也就无法突破。工欲善其事，必先利其器。解题技巧就是器。学好它对数学学习是极为重要的。这里，就3种常见的解题技巧给一点方法介绍和例题讲解供同学们参考。

直接分析

【直接分析】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。“直接分析”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。这就是直接分析，运用这种分析解题的方法叫“综合法”。

实战演练

　　例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？

　　分析：

　　（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？

　　可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。

　　（2）根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？

　　可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。

　　（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？

　　可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。

　　（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？

　　狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。

　　（5）已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？

　　可以求出这时狗总共跑了多少距离？

　　这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。　

　　例2 下面图形（图2.2）中有多少条线段？

　　分析：

　　我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。

　　（1）左端点是A的线段有哪些？

　　有 AB AC AD AE AF AG共 6条。

　　（2）左端点是B的线段有哪些？

　　有 BC、BD、BE、BF、BG共5条。

　　（3）左端点是C的线段有哪些？

　　有CD、CE、CF、CG共4条。

　　（4）左端点是D的线段有哪些？

　　有DE、DF、DG共3条。

　　（5）左端点是E的线段有哪些？

　　有EF、EG共2条。

　　（6）左端点是F的线段有哪些？

　　有FG共1条。

然后把这些线段加起来就是所要求的线段。

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逆向分析

【逆向分析】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。

实战演练

　　例1 两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。

　　分析：

　　（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？

　　需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。

　　（2）要求两船的速度和，必要什么条件？

　　两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）

　　（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？

　　两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米，由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。

　　此分析思路可以用下图（图2.3）表示：

　　例2 五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）

　

　　分析：

　　（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？

　　曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。

　　（2）要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？

　　8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。

　　（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？

　　求出一个圆环的面积，然后乘以5，就是五个圆环的总面积。

　　（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？

　　已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。

　　圆环面积公式为：

　　S圆环=π（R^2-r^2）

　　=π（R＋r）（R－r）

　　其思路可用下图（图2.5）表示：

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一步倒推分析

【一步倒推分析】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。

实战演练

　　例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？

　　分析：

　　（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？

　　因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。

　　（2）按条件顺推。

第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；

第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；

第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里无水，3千克桶里有水1千克；

第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是5千克水了。

　　其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：

　　

　　例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？

　　分析：

　　（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？

　　根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。

　　（2）从条件顺推。

　　①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+……

　　②当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。

　　③当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。

　　④当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5种组成方法。

　　⑤当边长为10厘米时，各边分别由1+9、2＋8、3＋7及4＋6组成，也只有一种组成方法。

　　⑤当边长为11厘米时，各边分别由2+9、 3＋8、4＋7及5+6组成，也只有一种组成方法。

　　⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。

　　此题的思路图如下（图2.8）：

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