双层玻璃窗的功效数学建模(双层玻璃窗模型)

导语：数学建模：双层玻璃窗的功效，高技术本质上是数学技术

A.Einstein有一句名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。

近几十年来，数学的应用不仅在它的传统领域——工程技术、经济建设，发挥着越来越重要的作用，而且不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科——计量经济学、人口控制论、生物数学、地质数学等等。

数学与计算机技术相结合，形成了一种普通的、可以实现的关键技术——数学技术，成为当代高新技术的重要组成部分。“高技术本质上是数学技术”的观点已越来越被多的人们所接受。

不论是用数学方法解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型。

许多人说数学没用，到处充斥着数学无用说，可是仔细想想，是这些人不会用数学知识真正的解决实际问题，简言之，就是大多数学数学的人只是学了皮毛，没有深入研究，试想一下，怎么可能就只学了皮毛，就妄想着能去探索解决奥妙无比的现实生活呢，反过来，又以自己的无知去批判，与其这样，不如静下心来好好积累沉淀，勿论从事哪行哪业，只要对数学有兴趣，数学的大门都永远为你敞开，但是请你爱护它，我们“冰冷美丽下火热思考的数学”！

今天我们来学“双层玻璃窗的功效”

你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如下图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下图所示，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设

热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。

室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态。即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

模型构成

在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：

厚度为d的均匀介质，两侧温度差为△T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与△T成正比，与d成反比，即

k为热传导系数

记双层窗内层玻璃的外侧温度是Ta，外层玻璃的内侧温度是Tb，如图，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（即热量流失）为

从（2）式中消去Ta、Tb可得

对于厚度为2d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为

二者之比为

显然Q1<Q2.为了得到更具体的结果，我们需要k1和k2的数据，从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数k1=4×10的-3次方到8×10的-3次方J/cm·s·km·h，不流通、干燥空气的热传导系数k2=2.5×10的-4次方J/cm·s·km·h，于是

在分析双层玻璃比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取k1/k2=16，由（3）（5）式可得

比值Q1/Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h=l/d有关，当h增加时，Q1/Q2迅速下降，而当h超过一定值（比如h>4）后Q1/Q2下降变缓。可见h不必选择过大。

模型应用

这个模型具有一定的应用价值，制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。所以通常建筑规范要求h=l/d≈4按照这个模型，Q1/Q2≈3%，即双层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。

不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k2，而这要求空气是干燥、不流通的。

作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层窗户的功效会比上述结果差一些。另外，应注意到，一个房间的热量散失，通过玻璃窗常常只占一小部分，热量还要通过天花板、墙壁、地面等流失。当然对于这类数学模型问题，数学已经非常有用的说明了实际用途，而不是很多人想当然的觉得，只要是两层，或者三层，就能更好的减小热传导，这些数据都是通过推导出来的，做成数据规范，统一实施，才有了今天的温暖的家！

我们生活中的绝大多数变化现象，很难根据已知理论直接建立函数模型，但只要能收集到变化过程中变量的数据，利用信息技术就可以建立大致反映变化规律的函数模型，收集整理数据也是一门学问，后期陆续更新，持续关注哦！

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