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证明切线垂直于过切点的半径(证明切线需要什么条件)

导语:此题要证明切线并求弦长,解题难点是垂径定理及相似三角形的运用

各位朋友,大家好!近来一段时间,数学世界将持续为大家分享初中数学题,希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助!今天,数学世界分享一道有关圆的证明题和解答题,涉及圆的知识,切线的判定,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识。

一直以来,数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家,目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣,并能给广大学生的学习提供一点帮助!接下来,数学世界就与大家一起来看题目吧!

例题:(初中数学综合题)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,延长AC到点D,使得CD=CB,连接BD交⊙O于点E,过点E作BC的平行线交CD于点F.

(1)求证:AE=DE.

(2)求证:EF为⊙O的切线;

(3)若AB=5,BE=3,求弦AC的长.

知识回顾

垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

分析:(1)由图可知,要证明AE=DE,只要证明∠EAD=∠D即可.根据“同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DBC=∠CAE,即可得出∠EAD=∠D.

(2)欲证明EF是⊙O的切线,只要证明OE⊥EF即可.由圆周角相等得出弧相等,再根据垂径定理得出垂直,即可解决问题.

(3)证明△ABE∽△DBA,利用相似三角形的性质求出AE,再进一步求出AD,即可解决问题.

请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面,我们就按照以上思路来解答此题吧!

解答:(以下过程可以部分调整)

(1)证明:∵CD=CB,

∴∠DBC=∠D,

又∵∠DBC=∠CAE,(同弧所对的圆周角相等)

∴∠D=∠CAE,

∴AE=DE.

(2)证明:连接OE,

∵AB=BC,

∴∠BAC=∠ACB,

∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE,

∴∠BAC=2∠CAE,

∴∠CAE=∠BAE,

∴点E为弧BEC的中点,

∴OE⊥BC,

∵EF∥BC,

∴OE⊥EF,

∴EF为圆O的切线.

(3)解:在△ABE和△DBA中,

∵∠BAE=∠D,∠ABE=∠DBA,

∴△ABE∽△DBA,

∴AB/EB=DB/AB=DA/AE,

∴AB^2=BE×DB,

∵AB=5,BE=3,

∴BD=25/3,

DE=BD-BE

=25/3-3

=16/3,

∴AE=DE=16/3,

∵AB/EB=DA/AE,

∴DA=80/9,

∵CD=CB=AB=5,

∴AC=DA×CD=35/9.

(完毕)

这道题属于综合题,考查了切线的判定,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确找出相似三角形,运用线段比例解决问题。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。

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